那珂川町に引っ越してきましたが、以前住んでいた町と国民健康保険税の税額が違うのはどうしてですか。

国民健康保険税の税率は、その市町村でかかる医療費などをもとに決めているため、市町村ごとで税率は異なります。
また、納期（納める回数）も市町村ごとに異なるため、1回あたりの税額も異なる場合があります。

月の途中で職場の健康保険を脱退し国民健康保険に加入した場合、その月の保険料は両方に納めることになるのですか。

加入者が、国民健康保険税と職場の健康保険料との二重負担となることを避けるために、健康保険税（料）は加入した月単位で計算する月割賦課制度が設けられています。
そのため、月割課税の場合は加入した日の属する月から、資格を喪失した月の前月までの月数で国民健康保険税が計算されることになりますので、脱退した月の職場の健康保険料はかからないことになります。
また、たとえ加入した日が月末であっても、その月分の国民健康保険税を納めることになります。

健康なので保険証をまったく使用していないのですが、国民健康保険税を払わなければならないのですか。

現在健康だからと言って将来まで健康とは限りません。国民健康保険は、いつ訪れるかわからない病気やケガの際に安心して医療を受けられるよう、お互いが助け合っていくための制度です。
国民健康保険税を納めない方がいると、自分や家族が困るだけでなく、他の加入者の皆さんの負担も重くなる可能性があります。国民健康保険制度の健全な運営のためにも、納め忘れのないよう納期限内の納付にご協力ください。

国民健康保険税を滞納すると、次のような措置をとられる場合があります。

　・督促手数料や延滞金が加算される場合があります。
　・保険証の有効期限が短くなる場合があります。
　・病気やケガをしたときの医療費が、いったん全額自己負担となる
　　場合があります。
　・国民健康保険の給付（高額医療費、出産一時金など）が
　　一時差し止められる場合があります。
　・財産の差し押さえなどの滞納処分を受ける場合があります。